Fondamenti della meccanica atomica
la somma di tutte quelle corrispondenti ad un intervallo infinitesimo (λ 0, λ 0 + Δλossia l'integrale
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Si può quindi prendere, come autofunzione normalizzata della (21) nell'intervallo (0, [simbolo eliminato] )
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Nel caso che la f(x, 0) sia una funzione pari (o dispari) si possono adoperare le formule (53'), (54'), (53"), (54"), che divengono:
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da cui, essendo I>0, si trae la (66).
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dove è la per t= 0, cioè
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Bisogna dunque cercare se la (183') ammette soluzioni finite e continue dovunque, e tendenti a 0 per tendente a : si troverà che ciò è possibile solo
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Per livelli di energia inferiori a 0 (tipo E''') si ha invece una ordinaria quantizzazione, e una limitata praticamente alla regione centrale; invece
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Riprendiamo l'equazione (131') cui soddisfa la u (x, y, z) e scriviamola esplicitando il e ponendovi U = 0.
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Per t= 0 la diventa:
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due pareti corrispondano ai piani x=0, x = a: siccome la somma anzidetta si può scrivere nella forma
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con l = 0, 1, 2,... (l'intero lchiamasi «quanto azimutale» perchè corrisponde al quanto azimutale della teoria di Bohr e Sommerfeld). Con questa
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Funzioni associate di Legendre. Passiamo ora a considerare la (235) senza la restrizione m= 0: essa si scrive, tenendo conto della (225),
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intervengono nella meccanica atomica (diamo ad m solo i valori 0, 1, 2,...: per avere le funzioni corrispondenti a valori negativi di m, non c'è che da
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che si può esprimere così: le funzioni costituiscono un sistema ortogonale e normalizzato nell'intervallo da 0 a .
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nell'intervallo da 0 a : si ha precisamente
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Ricordiamo anzitutto (v. form. 248) che negli stati in cui l = 0 (stati s) la u non dipende da e da , ma solo da r: si ha dunque una nuvola a
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, ossia che un salto quantico in cui m non varia di , o di 0, è «proibito». Si ha dunque nella (289) la regola di selezione del quanto equatoriale. Si
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(1) Nella antica teoria si usava invece escludere il valore m* = 0, per motivi analoghi a quelli che facevano escludere k = 0. il risultato non era
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d) Forma delle orbite.- Dobbiamo ora tener conto della rimanente condizione di Sommerfeld (323), dove n'(= 0, 1, 2,...) chiamasi quanto radiale.
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Si osservi che k è sempre minore od al più uguale ad n, poichè n' non può essere negativo: si ha k=n, cioè n'=0, nel caso delle orbite circolari
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(in unità )non da k ma da ossia ovvero . In particolare, per k = 1 dovrebbe risultare p =0 mentre la (329) dà .
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l= 0 1 2 3 4 5 ...
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È questa la relazione cercata. Da essa risulta, in particolare, che, col variare di θ da O a 180°, θ' varia da 90° a 0°: quindi, gli elettroni sono
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mentre nel punto 0 la è infinita, e precisamente tale che sia
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Faremo uso generalmente della funzione , che presenta nel punto la stessa singolarità che la presenta in x = 0: essa ha la proprietà fondamentale che,
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0 se non hanno punti comuni;
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Si osservi che, dal punto di vista formale, il simbolo più volte usato (= 0 se , = 1 se ) trova, nel caso degli indici continui, il suo analogo nella
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classica, quando si conosce lo stato del sistema al tempo 0 (nel senso specificato al principio di questo §) si può calcolare il valore di qualsiasi
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la probabilità 1/2 di trovarla in A o in B, ma per l'insieme delle due, le probabilità dello specchietto precedente diventano rispettivamente 1/2, 0, 0
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limite di un operatore non degenere ponendo p. es. (dove è scelto in modo che non sia degenere, ed è una quantità che si fa tendere a 0). Allora
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e che la corrisponde all'autovalore 0. Naturalmente anche qualunque funzione di questa G soddisfa la condizione voluta. (v. E: FERMI, N. Cim., VII
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(1) Non sarà inutile riassumere lo schema di questo calcolo, che risulta dai §§ precedenti. Siano le osservabili misurate al tempo 0 (costituenti
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Supponiamo che al tempo 0 si sia eseguita un'osservazione massima: i suoi risultati rappresentano una descrizione completa del sistema all'istante
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Per meglio chiarire la cosa, si consideri l'esempio dell'oscillatore lineare (v. § 39, p. II), e si supponga di averne misurato, al tempo t = 0
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Si noti che l'osservazione massima da farsi al tempo 0 può scegliersi con ampia arbitrarietà, e questi diversi modi di definire lo stato del sistema
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farsi al tempo 0 tale che il suo risultato permetta di calcolare — senza indeterminazione — il valore di G al tempo . Però, se si volesse poter
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(1) In questo problema, numeriamo le righe e le colonne delle matrici a partire da 0 anzichè da 1, per conformarci alla convenzione adottata nella
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= 0: si ha
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Supponiamo che per t = 0 lo stato del sistema sia rappresentato da una certa da considerarsi nota, che, sviluppata in serie mediante le , sia
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Supponiamo ora che la perturbazione duri soltanto per un certo intervallo di tempo, da 0 a , mentre per e sia : supponiamo inoltre che prima
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(dove l'apice indica che si tratta di prima approssimazione). Integrando tra 0 e t si hanno i valori di prima approssimazione delle
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Sostituendo poi le (228) nei secondi membri delle (222), e integrando fra 0 e t si otterrebbe facilmente la seconda approssimazione, e così per le
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Da quando comincia ad agire la perturbazione, il detto stato non è più stazionario, e la del sistema nel tempo da 0 a si può scrivere nella forma
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successione di termini. In particolare in questa formula rientrano i termini balmeriani (per i quali è a= 0):
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Nel primo caso le equazioni danno (, mentre restano arbitrarie (salvo l'ortogonalità e la normalizzazione) e si possono prendere uguali a 1 e a 0
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L'altro punto eventualmente singolare è r = 0: ivi le espressioni precedenti sono regolari se , mentre se divengono infinite dell'ordine di : tale
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L'equazione di Dirac ammette (come si è visto al § 54 per il caso particolare di onde piane e U = 0) accanto ad ogni soluzione rappresentante uno
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cinetica ordinaria o «forza viva» T: si ha . L' energia totale sarà poi indicata, al solito, con W. Nel caso del § 54 si era assunto U = 0 e perciò .
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Supponiamo ora che, al tempo 0, si sia constatato che la particella 1 è nello stato e la 2 nello stato , vale a dire, che la è rappresentata
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(Si noti che, nel caso , si ha a 0 e quindi mancano gli stati corrispondenti ad i = 1, 2, 3).
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Accademia della crusca
